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미국의 수학 경시대회 (3)

관리자 0 158 03.02 09:25

AMC 8

AMC 10

AMC 12

▶ AIME

▶ USAJMO

▶ USAMO

▶ MOP&IMO

 

지난 2주 동안 미국 수학협회 (The Mathematical Association of America, MAA)가 주관하는 수학 경시대회 중 AMC 8, AMC 10, AMC 12에 대하여 소개했다. 

이번 호는 미국의 수학경시대회 마지막편으로 미국에서 최고의 수학 실력을 가진 학생들이 참여하는 대회를 소개한다.

 

▶ AIME (American Invitational Mathematics Examination): AMC 10과 AMC 12에서 상위권의 성적을 기록한 학생들만 초대해 치르는 대회

▶ USAJMO (United States of America Junior Mathematical Olympiad): AMC 10에서 우수한 성적을 기록하고 동시에 AIME에서도 고득점을 받은 학생들을 초대해 치르는 대회

 

▶ USAMO (United States of America Mathematical Olympiad): AMC 12에서 상위의 성적을 기록하고 동시에 AIME에서도 고득점을 받은 학생들을 초청해 치르는 대회

 

▶ MOP (Mathematical Olympiad Program): USAMO와 USAJMO의 상위권 학생들을 선발해 미국대표팀으로 훈련시키는 3주간의 여름 캠프

 

▶ IMO (International Mathematical Olympiad): MOP에서 우수한 성적을 거둔 6명의 학생들을 미국 대표로 선발해 출전시키는 60년 전통의 국제수학경시대회

 

 

< AIME >

 

지난 호에 소개한 바와 같이 올해 AMC 10/12 A타입은 지난 2월 7일에 그리고 B타입 시험은 2월 13일에 치러졌다. 이제 이 시험에서 상위권에 속하는 학생들은 초청경시대회 즉, AIME (American Invitational Mathematics Examination)에 초청받게 된다.

 

올해의 1차 AIME 시험은 3월 13일 수요일에, 2차 AIME 시험은 3월 21일 목요일에 각각 치러질 예정이다.

 

AMC 12를 치른 학생들 중 최고점수 150점 중 100점 이상을 획득했거나 상위 5%에 속한다면 AIME에 출전할 수 있고, AMC 10을 치른 학생들 중 150점 만점에 120점 이상을 획득했거나 상위 2.5%이내에 속한다면 AIME에 출전할 기회를 획득하게 된다.

이처럼 AMC 10에서 뽑힌 학생의 비율이 AMC 12에서 뽑힌 학생의 비율보다 훨씬 적다. 그 이유는 AMC 10 참가자는 상대적으로 학년이 낮아 난이도가 높은 문제가 출제되는 AIME 시험이 다소 어려울 수 있기 때문이다.

 

AMC 10에서 좋은 결과를 얻었다 하더라도 AMC 12에서는 좋지 않은 결과를 얻는 학생들이 많다. 때문에 AMC 10에서 좋은 성적을 거두어 AIME에 초대되었다고 하더라도 AIME를 치르기 전에 AMC 12시험도 공부해 볼 것을 권유하고 있다.

 

하지만, 어쨌든 미국수학협회는 AMC 10의 연령에 해당하는 학생들 중에서도 우수한 학생을 발굴하자는 의미에서 AMC 10의 상위권 학생들에게 AIME에 참가할 기회를 제공하고 있다.

 

오는 3월 13일에 치러지는 1차 AIME와 지난 2주 동안 미국 수학협회 (The Mathematical Association of America, MAA)가 주관하는 수학 경시대회 중 AMC 8, AMC 10, AMC 12에 대하여 소개했다. 

이번 호는 미국의 수학경시대회 마지막편으로 미국에서 최고의 수학 실력을 가진 학생들이 참여하는 대회를 소개한다.

 

▶ AIME (American Invitational Mathematics Examination): AMC 10과 AMC 12에서 상위권의 성적을 기록한 학생들만 초대해 치르는 대회

▶ USAJMO (United States of America Junior Mathematical Olympiad): AMC 10에서 우수한 성적을 기록하고 동시에 AIME에서도 고득점을 받은 학생들을 초대해 치르는 대회

 

▶ USAMO (United States of America Mathematical Olympiad): AMC 12에서 상위의 성적을 기록하고 동시에 AIME에서도 고득점을 받은 학생들을 초청해 치르는 대회

 

▶ MOP (Mathematical Olympiad Program): USAMO와 USAJMO의 상위권 학생들을 선발해 미국대표팀으로 훈련시키는 3주간의 여름 캠프

 

▶ IMO (International Mathematical Olympiad): MOP에서 우수한 성적을 거둔 6명의 학생들을 미국 대표로 선발해 출전시키는 60년 전통의 국제수학경시대회

AIME 

 

지난 호에 소개한 바와 같이 올해 AMC 10/12 A타입은 지난 2월 7일에 그리고 B타입 시험은 2월 13일에 치러졌다. 이제 이 시험에서 상위권에 속하는 학생들은 초청경시대회 즉, AIME (American Invitational Mathematics Examination)에 초청받게 된다.

 

올해의 1차 AIME 시험은 3월 13일 수요일에, 2차 AIME 시험은 3월 21일 목요일에 각각 치러질 예정이다.

 

AMC 12를 치른 학생들 중 최고점수 150점 중 100점 이상을 획득했거나 상위 5%에 속한다면 AIME에 출전할 수 있고, AMC 10을 치른 학생들 중 150점 만점에 120점 이상을 획득했거나 상위 2.5%이내에 속한다면 AIME에 출전할 기회를 획득하게 된다.

이처럼 AMC 10에서 뽑힌 학생의 비율이 AMC 12에서 뽑힌 학생의 비율보다 훨씬 적다. 그 이유는 AMC 10 참가자는 상대적으로 학년이 낮아 난이도가 높은 문제가 출제되는 AIME 시험이 다소 어려울 수 있기 때문이다.

 

AMC 10에서 좋은 결과를 얻었다 하더라도 AMC 12에서는 좋지 않은 결과를 얻는 학생들이 많다. 때문에 AMC 10에서 좋은 성적을 거두어 AIME에 초대되었다고 하더라도 AIME를 치르기 전에 AMC 12시험도 공부해 볼 것을 권유하고 있다.

 

하지만, 어쨌든 미국수학협회는 AMC 10의 연령에 해당하는 학생들 중에서도 우수한 학생을 발굴하자는 의미에서 AMC 10의 상위권 학생들에게 AIME에 참가할 기회를 제공하고 있다.

 

오는 3월 13일에 치러지는 1차 AIME와 21일에 치러지는 2차 AIME 시험의 문제는 같은 수준에서 완전히 다른 문제들로 출제된다. 약 1주 간격으로 치러지는 AIME는 두 가지 형태 중 하나만 응시 할 수 있다. 미국수학협회는 학생들에게 가급적 1차 시험에 응시하고 부득이한 경우에만 2차 시험을 치를 것을 권유하고 있다.

 

AIME는 3시간 동안 15개의 주관식 문제를 풀게 되고, 정답은 정수 0에서 999 사이의 숫자로 표기한다. 다시 말해 정답은 분수나 소수, 기호를 포함하지 않는다. 

 

모든 문제가 주관식이기 때문에 문제 풀이과정이 중요하며, 추측으로 정답을 맞추는 것이 불가능하기 때문에 지금까지의 시험보다 훨씬 어렵다. 

 

AIME의 출제 범위는 AMC 10, AMC 12와 마찬가지로 미적분의 바로 전 단계(pre-calculus)까지이다. 또한, 15개의 각 문제는 다른 수학 개념을 필요로하지만 AMC 10/12와는 달리 난이도의 차이를 두지 않는다. 그러나 정확히 어디까지가 시험 범위이고 어디서부터가 아닌지를 말하기는 어렵다. 

 

AIME의 문제들은 훨씬 더 도전적이다. 숫자들이 복잡하고, 삼각함수를 이용하거나, 그래프를 이용하는 경우가 많으며, 여러 단계를 거쳐야 해결이 가능하고 다양한 수학 기호를 이용해야 하는 문제가 출제된다. AIME에 출전했다는 사실만으로도 미국에서 뛰어난 수학 능력을 지닌 고등학생이라는 것을 말해준다.

 

AIME은 초청을 받아서 치르는 시험이기 때문에 별도의 등록비가 없다. 궁극적으로 이 시험은 국제대회에 출전할 미국 대표를 뽑기 위한 시험이므로 응시자는 반드시 미국 시민이거나 합법적인 체류신분이어야 하며, 시험에서 좋은 성적을 거두게 되면 USAMO를 치를 자격이 주어진다. 

 

그러나 조금이라도 부정행위가 의심되거나 발각되면 시험지와 답지는 바로 압수되고 수학협회로 보고된다. 계산기 사용은 허용되지 않으나 연습지, 그래프지, 자, 컴파스 등의 사용은 허용된다. 그 외에 어떠한 전자기기도 지참할 수 없다. 여기에는 전자사전도 포함된다.

 

수험생에게는 AMC 10, AMC 12 결과와 함께 AIME를 치를 자격 여부에 대해서 알려준다.

 

AMC8, 10/12, AIME의 예제는 AMC의 웹사이트에서 회원가입을 한 뒤 유료로 구입할 수 있다. CD 형태의 기출문제는 $20정도이이며, 기출문제 및 팁과 아이디어를 포함한 패키지는 $25이다. 

 

또한 각 시험의 준비를 위한 온라인과정 'AMC Advantage™'도 마련되어 있다.

 

다음은 AIME 기출문제의 일부와 정답이다. 답은 같아도 여러 가지의 풀이 과정이 있을 수 있다. 문제의 형태와 난이도를 AMC l0/12 와 비교해 보자.

 

 

AIME  기출문제 


------------- 2017 AIME I Problem 3 -------------

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--------------------- Solution --------------------- 

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------------- 2018 AIME II Problem 1 ------------- 

 

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--------------------- Solution 1 --------------------- 

 

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USAJMO / USAMO 

 

AMC 10에서 AIME에 초대받은 학생들은 AIME 점수에 10을 곱한 뒤 여기에 AMC 10의 점수를 합산하여 최고 득점자로부터 약 250명까지의 상위권 학생들에게 미국주니어수학경시대회 (USA Junior Mathematical Olympiad, USAJMO)에 출전할 수 있는 자격이 주어진다. 만약 여러차례 AMC 10 시험을 치른 학생이라면 가장 잘 받은 점수를 합산에 이용한다.

 

마찬가지로 AMC 12에서 AIME로 초대된 학생들의 AIME 점수에 10을 곱하고, AMC 12 점수를 더해 최고 득점자로부터 약 300명까지의 상위권 학생들에게 미국수학경시대회(USA Mathematical Olympiad, USAMO)에 출전할 수 있는 자격을 부여한다. 역시 여러차례 AMC 12 시험을 치른 학생이라면 가장 잘 받은 점수로 계산한다. 

 

이들 시험에서 상위권에 들면, MIT와 같은 공대뿐만 아니라 아이비리그 대학 지원 시 매우 유리한 조건을 갖추게 된다고 볼 수 있다.

 

USAMO와 USAJMO는 이틀에 걸쳐 9시간 동안 6개의 서술형 문제를 푸는 시험으로 보통 문제풀이와 정답을 한 문제당 한 페이지에 걸쳐 증명해야 한다. AIME과 마찬가지로 6개 문항은 난이도에는 차이를 두지 않는다.

 

시험은 매년 4월에 열리는데 올해는 4월 17과 18일에 시행되며, 각 4시간 반 동안(12:30 pm EDT ~ 5:00 pm EDT) 3문제씩을 풀어야 한다.

 

모든 문제는 미적분 바로 앞(pre-calculus) 범위 안에서 출제되며 시험을 치르고 10일이 지난 뒤 웹사이트를 통해 점수를 확인해 볼 수 있다. 보통 2~3주가 후에 결과가 집으로 도착한다.

 

AMC는 회수한 문제지나 답안지를 학생에게 다시 돌려주지 않지만 웹사이트에서는 문제와 답지 확인이 모두 가능하다. 궁극적으로 미국 대표를 뽑는 시험이므로 응시자는 반드시 미국 시민이 거나 합법적인 체류신분이어야 한다. 별도의 등록비가 없고, AIME와 마찬가지로 계산기는 허용되 지 않으며 오직, 연습장, 모눈종이(그래프지), 자, 콤파스만 허용된다. 어떠한 전자기기도 허용되지 않으며 사전도 지참할 수 없다. 조금이라도 부정행위가 의심되거나 발각되면 시험지와 답지는 바로 압수되고 미국 수학협회에 보고된다.

 

USAMO가 완전 서술형의 문제라면 USAJMO는 서술형과 계산 능력이 적절히 요구되는 중간 정도의 문제 형태를 취하고 있다. 따라서 서술과 계산 능력이 모두 필요하다. USAMO와 마찬가지로 한 문제당 레터용지 한 장 정도의 분량으로 주어진 문제에 대해 자신의 논리를 펴나가야 한다.

 

수학 공식을 이용한 설명뿐만 아니라 문장으로 설명할 때에도 문법이나 철자가 틀려서는 안된다. 아래의 예제들을 보면 문제는 간단한 것처럼 보이지만, 모든 문제가 숫자 하나로 정답이 완성될 수 없는 문제들로 여러 단계의 증명을 통해서 답을 찾아나가야 한다.

따라서 본인의 답이 정확하지 않더라도 무조건 끝까지 풀어나가는 것이 유리하다. 풀어나가는 과정에서 해답을 찾을 수도 있고, 답을 완성하지 못하거나 답이 틀리더라도 증명해 나가는 과정이 타당하다면 부분 점수를 받을 수 있다. 그러므로 답안지를 비워두는 것보다 어떻게든 적어나가는 것이 유리하다 시험 준비는 기출 문제를 중심으로 하는 것이 좋다.

 

다음은 2018년 USAMO와 USAJMO의 기출문제다.

 

-------------- 2018 USAMO Day 1 --------------

 

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-------------- 2018 USAJMO Day 1 -------------- 

 

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MOP (Mathematical Olympiad Program) 

 

수학 올림피아드 여름 프로그램은 USAMO와 USAJMO의 상위권 학생들을 선발해 미국대표팀으로 훈련시키는 캠프다. 한 동안 MOSP(Mathematical Olympiad Summer Program)를 공식 명칭으로 사용하였지만, 참가자들과 캠프의 졸업생들이 계속해서 MOP라고 부르자 2017년 다시 MOP으로 공식명칭을 바꾸었다.

3~4주 동안 하루 종일 이어지는 수업과 빡빡한 프로그램들로 채워져 있으므로 수학을 매우 좋아하는 학생이거나 끈기 있는 노력파가 아니라면 견뎌내기 힘들다고 한다. 그러나, 여름 캠프에 들어갔다는 것만으로도 수학 실력은 미국내 최고라고 인정받는다.

 

1974년부터 시작된 MOP는 처음에는 뉴저지의 러트거스(Rutgers) 대학교에서 열리다가 1995년까지는 메릴랜드 애나폴리스의 해군사관학교와 웨스트포인트의 육군사관학교에서 번갈아 개최했다. 1995년에는 일리노이즈 오로라의 수학과학아카데미(IMSA), 1996년부터는 대부분 AMC의 본부가 있는 네브라스카 대학교에서 개최되어 오다가 2015년부터 펜실베이니아주 피츠버그의 카네기 멜론대학에서 열리고 있다. 매년 날짜는 다르지만 올해도 역시 카네기 멜론대학에서 6월에 열릴 예정이다.

 

USAMO와 USAJMO에서 높은 성적을 기록한 약 30명의 학생들이 MOP에 초대되는데 USAMO에서 12위 안에 든 미국 학생들은 연령에 관계없이 초대된다. 이 학생들은 국가대표팀 선발 시험에 응시한 자격을 갖게 되고, 한 해 동안 미국 IMO 대표팀의 잠재적 구성원으로 간주된다.

그 다음 이 학생들 이외에 캐나다 출신이 아닌 11학년이하의 학생들이 초대된다. 이 그룹은 몇 년 동안 잠재적인 IMO 팀 멤버로 간주된다. 다음으로는 30위 이내의 1, 2학년 학생들이 올림피아드 수준의 수학적 기초를 쌓기 위한 목적으로 MOP에 초대된다.

2008년부터는 또다른 그룹이 추가되었는데, 중국여자수학올림피아드에 미국대표로 출전할 여학생들을 MOP에 초대하고 있다. 이 그룹은 일반적으로 핑크 MOP라고 부른다.

 

MOP에서는 3주 동안 올림피아드 수준의 수학 공부와 초대 손님의 강연, 콘테스트 교육 등이 이루어진다. 학생들은 5명의 팀으로 나뉘는데 수업은 보통 강의에 이어 문제 풀이 세트로 이루어지며, 며칠 간격으로 오후 강의 대신 4시간 동안 3~4문제를 푸는 올림피아드 형식의 시험을 치른다.

 

3주간의 캠프 과정을 통해 최종적으로 6명이 국제수학올림피아드 IMO 미국 국가대표로 선발되며 이들은 미국 대표팀이 되어 집중적으로 IMO를 목표로 훈련을 받는다. 미국대표로 출전하지 못하더라도 여름캠프에 참석했다는 사실만으로도 명문대와 공과대학의 합격에 유리하게 작용하며 교수들이 직접 찾아와 면담을 요청하는 경우도 있다. 여름 캠프가 끝나면 바로 6명으로 구성된 미국 대표팀과 팀을 이끄는 교사들은 국제 수학올림피아드(IMO)가 열리는 국가로 향한다.

 

IMO (International Mathematical Olympiad)

 

국제 수학올림피아드는 대학 교육을 받지 않은 만 20세 미만의 학생을 대상으로 열리는 국제 과학올림피아드의 하나이다. 국제 과학올림피아드들 가운데 가장 큰 규모와 오래된 역사를 자랑하고 있으며 1959년 루마니아의 1회 대회를 시작으로 2017년 브라질에서 열린 제58회 IMO에는 무려 111개국에서 615명이 참가했다. 대한민국의 대전에서 제41회 IMO가 개최되기도 했다. 초창기에는 동구권 국가들만 참가했으나 갈수록 참가국이 늘고 있다.

 

IMO는 매년 여름에 개최되는데, 올해로 60번째를 맞는 IMO는 고대 온천 도시로 유명한 영국의 바쓰(Bath)시에서 7월 11일~7월 22일까지 열린다.

 

대회 자체의 분위기는 축제에 가깝고, 축제기간 동안 이틀간의 시험이 있다고 생각하면 오히려 정확하다. 경시대회라는 의미도 중요하지만, 전 세계의 훌륭한 인재들을 만날 수 있는 사교의 기회이며, 대회기간 동안의 노력에 의해 성적이 바뀔 수 있는 대회가 아니기 때문이다.

 

각국의 대표팀은 최대 6명의 학생들로 구성된다. 참가자들은 4시간 30분씩 이틀에 걸쳐 시험을 보게 되며 하루에 3문제씩 총 6문제를 풀어야 한다. 각 문제당 7점 만점으로 총 42점이 만점이다. 계산기의 사용은 허용되지 않는다.

개인의 성적에 따라 금메달, 은메달, 동메달이 주어지는 개인 대항 대회이지만, 공식 홈페이지에서는 메달의 개수와는 무관하게 각 나라 대표선수들이 얻는 점수를 합산해 등수를 매긴다. 이 기준으로 최다 우승국은 공동우승을 포함해 19차례 우승을 차지한 중국이다. 구 소련(14회)과 미국(7회)이 그 뒤를 잇고 있으며, 한국도 2012년과 2017년 2차례 우승을 차지한 바 있다.

6명의 선수 전원이 금메달을 획득한 대회는 중국이 11회, 미국이 3회(1994, 2011, 2016), 러시아(2002, 2008)와 대한민국이 2회(2012, 2017), 불가리아가 1회(2003)뿐이다.

 

미국 대표팀은 1994년(홍콩)대회에서 IMO 역사상 유일하게 전원 만점을 획득해 "드림팀" 이란 명성을 얻기도 했다.

 

IMO 공식 웹사이트에서는 첫 대회가 열린 1959년부터의 모든 기출문제와 정답 및 풀이과정을 다운로드 받아볼 수 있으며, 2006년부터는 한국어를 포함해 50여 개가 넘는 전세계의 언어로 열람할 수 있다. (https://www.imo-official.org/problems.aspx)

 

다음은 2018년 IMO 기출문제다.

 

----------------- 2018 IMO Day 1 -----------------

 

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